\section{附录：置换}


\begin{frame}{集合上的置换} 

我们通过置换的概念来介绍行列式的完全展开式（实际上我们直接需要的是置换的符号）。
令$\Omega=\{1,2,\cdots,n\}$. 我们会谈集合$\Omega$上的置换、$n$阶的置换矩阵、$n$阶排列这三个概念。这三者之间有一一对应。
前两者构成的集合都有自然的群结构，但排列的集合上没有（可以诱导）。
%置换的概念更利于我们追踪元素的变化（比如为了确定符号）。

\pause
\begin{definition}
    集合$\Omega$上的一个\emph{置换} (permutation) 指$\Omega$到$\Omega$的一个双射$\sigma\colon \Omega\rightarrow \Omega$. 
    $\Omega$上所有置换的集合$S_\Omega$构成一个群，称为$\Omega$的（集合意义下的）\emph{自同构群} (automorphism group)，其中：
  \begin{enumerate}
    \item 乘法为映射的复合（满足结合律）；
    \item 单位元是恒等映射$1_\Omega$, 
    \item $f\in S_{\Omega}$的逆元是其逆映射$f^{-1}$.
  \end{enumerate}
  $\{1,2,\cdots,n\}$上所有的置换构成的群记为$S_n$, 称为\emph{对称群} (symmetric group)，或\emph{全置换群}。
\end{definition}

\pause
注意$S_{\Omega}$和$S_n$中的乘法都是自右向左的，因为复合是自右向左的。我们关心的主要是$\{1,2,\cdots,n\}$上的置换。
\end{frame}

\begin{frame}
  下面我们以$\Omega=\{1,2,3,4,5\}$为例来说明如何用表格表示置换。我们可以如下来写一个$\Omega$上的置换：
  \[
    \sigma=
    \left( 
      \begin{array}{ccccc}
        1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
        5 & 3 & 4 & 2 & 1
      \end{array}
    \right)
  \]
  来表示如下的对应法则
  \[
    \begin{array}{c|c|c|c|c|c}
      i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
      \hline
      \sigma(i) & 5& 3 & 4 & 2 & 1
    \end{array}
  \]
  \pause
  根据需要有时上面表示中第一行中数字不必按照从小到大的顺序，比如
  \[
    \sigma=
    \left( 
      \begin{array}{ccccc}
        2 & 1 & 3 & 5 & 4\\
        3 & 5 & 4 & 1 & 2
      \end{array}
    \right)
  \]
  表示的是同一个置换（当然这个也理解为上一行的数字映到其下方的数字）。
  \pause
  如果给定$\Omega$上又一个置换
  \[
    \mu=
    \left( 
      \begin{array}{ccccc}
        1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
        5 & 1 & 3 & 4 & 2
      \end{array}
    \right),
  \]
  \pause
  我们可以按如下形式写来得到乘积$\mu\sigma$:
  \[
    \begin{aligned}
      \mu\sigma
      %&= 
      %\left( 
      %  \begin{array}{ccccc}
      %    1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
      %    5 & 3 & 4 & 2 & 1\\
      %    2 & 3 & 4 & 1 & 5
      %  \end{array}
      %\right)
      = 
      \left( 
        \begin{array}{ccccc}
          1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
          2 & 3 & 4 & 1 & 5
        \end{array}
      \right).
    \end{aligned}
  \]
%  置换
%  \[
%    \sigma=
%      \left( 
%        \begin{array}{ccccc}
%          i_1 & i_2 & i_3 & i_4 & i_5\\
%          j_1 & j_2 & j_3 & j_4 & j_5
%        \end{array}
%      \right)\in S_5
%    \]
%    的逆可表示为
%    \[
%    \sigma=
%      \left( 
%        \begin{array}{ccccc}
%          j_1 & j_2 & j_3 & j_4 & j_5\\
%          i_1 & i_2 & i_3 & i_4 & i_5
%        \end{array}
%      \right).
%    \]
  \end{frame}


  \begin{frame}{轮换记号}

这里我并不打算把说到的变得十分严格（并不难做到），你知道是怎么回事就行。

上面的表格形式用于表示置换有些笨重，置换还有种方便的记号：轮换记号。
\pause
这个很容易从例子理解，我们仍以$\Omega=\{1,2,3,4,5\}$上的置换为例。仍考虑
\[
  \sigma=
  \left( 
    \begin{array}{ccccc}
      1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
      5 & 3 & 4 & 2 & 1
    \end{array}
  \right).
\]
\pause
注意到$\sigma(1)=5, \sigma(5)=1$, 我们把这部分写成$(15)$, 这个称为一个$2$-轮换; 注意到$\sigma(2)=3, \sigma(3)=4, \sigma(4)=2$, 我们把这部分写成$(234)$, 这个称为一个$3$-轮换。
\pause
$(15), (234)$称为轮换的理由可以从如下图示出的$\sigma$映射的效果看出：
\[
  \begin{tikzpicture}[|->,scale=0.8]
    \node (a) at (-2, 0) {$5$};
    \node (b) at (-2, 1.6) {$1$};
    \node (c) at (2,0) {$4$};
    \node (d) at (1.15, 1.5) {$2$};
    \node (e) at (2.85, 1.5) {$3$};
    \draw (a) to [out=0,in=0] (b);
    \draw (b) to [out=180, in=180] (a);
    \draw (d) to [out=30,in=150] (e);
    \draw (e) to [out=-60, in=0] (c);
    \draw (c) to[out=180,in=-120] (d);
  \end{tikzpicture}
\]
\pause
然后我们写$\sigma=(15)(234)$. 我们姑且说这是$(15)$和$(234)$的``乘积''。
\end{frame}

\begin{frame}

再比如置换
\[
  \mu= 
  \left( 
    \begin{array}{ccccc}
      1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
      5 & 1 & 3 & 4 & 2
    \end{array}
  \right).
\]
可以写为$\mu=(152)(3)(4)$. $(3), (4)$ 这样的称为$1$-轮换。
\pause
一般地，不难用数学归纳法验证$S_n$中每个置换都是不相交的轮换的“乘积”（我们这样说时也包含了置换本身是个轮换的情形），这里不相交是指不同的轮换不包含同一个数字。

\pause
对$\mu=(152)(3)(4)$, 我们常常省略$(3),(4)$这样的$1$-轮换，只写$\mu=(152)$. 
这样写时我们默认没出现的数字是被固定的，所以这种省略的写法的意思依旧是明确的。
\pause
一般地，我们可以谈$\{1,2,\cdots,n\}$上的 \emph{$k$-轮换}$(i_1i_2\cdots i_k)$ ($k$-cycle), 
其中$i_1,i_2,\cdots, i_k$ $(k>1)$ 是$\{1,2,\cdots,n\}$中两两不同的数字构成的非空子集。
\pause
\emph{$2$-轮换}$(ij)$表示置换：$i\mapsto j, j\mapsto i$, 其他数字不动（$2$-轮换亦称为\emph{对换} (transposition)）；
\emph{$3$-轮换}$(ijk)$表示置换：$i\mapsto j, j\mapsto k, k\mapsto i$, 其他不动；以此类推。
\pause
另外，我们可以把$1$-轮换看作是恒等映射，这样任意的$k$-轮换都可以看作一个置换。
\pause
这时，置换写成不相交的轮换的“乘积”就的的确确是一些置换的乘积了；这也就是说，我们把置换写成不相交的轮换的“乘积”是与置换的乘法相容的（我们可以去掉前面“乘积”两边的双引号了）。
\pause
这样，我们可以混写置换的轮换表示与置换的乘法。
\end{frame}

\begin{frame}

注意到$(ij)=(ji)$, $(ijk)=(jki)=(kij)$, 等等。所以置换的轮换表示形式上不唯一。

\pause
下面我们用轮换记号写下置换的乘积。我们有
\[\mu\sigma=(152)(15)(234)=(1234), \quad\sigma\mu=(15)(234)(152)=(2534). \] 
\pause
\begin{lemma}
设$1<k\leqslant n$. 我们有 $(i_1i_2i_3\cdots i_k)=(i_1i_k)\cdots (i_1i_3)(i_1i_2).$ 特别地，$n>1$时每个置换都是一些对换的乘积。
  \label{104}
\end{lemma}
\pause
\begin{proof}
  对$2\leqslant l \leqslant k$, 令$\sigma_l = (i_1i_l)$; 令$\sigma_{k+1}=1$. 
  显然对$r\in \{1,2,\cdots, n\}\setminus\{i_1, i_2, \cdots, i_k\}$有$\sigma_k\cdots \sigma_2(r)=r$.
  对任意的$2\leqslant l\leqslant k-1$, 有
  \[
    \begin{aligned}
      \sigma_k\cdots \sigma_2(i_l)
      &=  \sigma_{k+1}\sigma_k\cdots \sigma_2(i_l)= \sigma_{k+1}\sigma_k \cdots \sigma_{l+1}\sigma_{l}(i_l)
      = \sigma_{k+1}\sigma_k \cdots \sigma_{l+1}(i_{1})\\
      &=  \sigma_{k+1}\sigma_k \cdots \sigma_{l+2}(i_{l+1})
      = i_{l+1};
    \end{aligned}
  \]
  而且\[ \sigma_k\cdots \sigma_2(i_1)=\sigma_{k+1}\sigma_k\cdots \sigma_{3}(i_2)=i_2,\quad  \sigma_k\cdots \sigma_2(i_{k})=\sigma_k(i_k)=i_1. \]
  这样$(i_1i_k)\cdots (i_1i_3)(i_1i_2)=(i_1i_2i_3\cdots i_k)$.
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}{置换矩阵}

  每个置换都有个关联的\emph{置换矩阵} (permutation matrix)。置换$\sigma\in S_n$关联的置换矩阵为定义为$P\coloneq \sum_{i=1}^n e_{\sigma(i),i}$, 其中$e_{kl}$表示$(k,l)$元素为$1$其余元素为$0$的$n$阶方阵。

  \pause
\begin{example}
  \begin{enumerate}
    \item $(123)\in S_3$关联的置换矩阵为
      \[
        e_{21}+e_{32}+e_{13} = 
        \begin{pmatrix}
          0 & 0 & 0\\
          1 & 0 & 0\\
          0 & 0 & 0
        \end{pmatrix} + 
        \begin{pmatrix}
          0 & 0 & 0\\
          0 & 0 & 0\\
          0 & 1 & 0
        \end{pmatrix} + 
        \begin{pmatrix}
          0 & 0 & 1\\
          0 & 0 & 0\\
          0 & 0 & 0
        \end{pmatrix}
        = \begin{pmatrix}
          0 & 0 & 1\\
          1 & 0 & 0\\
          0 & 1 & 0
        \end{pmatrix}.
      \]
      \pause
    \item 对换$(i_ki_l)\in S_n$关联的置换矩阵为
      \[
        \sum_{i\neq i_k, i_l} e_{ii}+ e_{i_ki_l}+e_{i_li_k} = E+e_{i_ki_l}+ e_{i_li_k}-e_{i_ki_k}-e_{i_li_l},
      \]
      所以对换的置换矩阵是初等矩阵中的一类，这样的矩阵我们也称为\emph{对换矩阵}。
  \end{enumerate}
\end{example}

\pause
\begin{proposition}\label{1B1}
    设$\sigma, \mu\in S_n$是置换，关联的置换矩阵分别为$P, Q$, 那么置换$\mu\sigma$的关联的置换矩阵为$QP$. 
\end{proposition}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}
    我们有
      \[
          QP = \left( \sum_{i=1}^n e_{\mu(i),i} \right)\left( \sum_{j=1}^n e_{\sigma(j),j} \right)
          = \sum_{j=1}^n e_{\mu(\sigma(j)),j}, 
      \]
      因为$e_{\mu(i),i}e_{\sigma(j),j}\neq 0$只有$i=\sigma(j)$. 即$\mu\sigma$对应的置换矩阵就是$QP$.
  \end{proof}

\pause
  \begin{proposition}
    对$n$阶方阵$P$, 其中$n>1$, 下列等价：
      \begin{enumerate}
        \item $P$是置换矩阵，即$P=\sum_{i=1}^n e_{\sigma(i),i}$, 对某个置换$\sigma\in S_n$. 
        \item $P$每行每列都只有一个$1$, 其余元素为$0$.
          \item $P$是一些对换矩阵的乘积。
      \end{enumerate}
    特别地，置换矩阵的行列式为$\pm 1$. 
    \label{1B2}
  \end{proposition}
  \pause
\begin{proof}
  \circled{1} $\Rightarrow$ \circled{2} 是显然的。\circled{3} $\Rightarrow$ \circled{1} 可如下论证。
      若$P$是若干个对换矩阵的乘积，那么$P$可由单位矩阵通过若干次交换两行得到，所以每列的元素在被置换。
      这样每列只有一个$1$. 记第$i$列的$1$在$\sigma(i)$行。
      显然这些$1$在不同的行，所以$i\mapsto \sigma(i)$定义了一个置换$\sigma$, 其对应的置换矩阵就是$P$. 
      现在证 \circled{2} $\Rightarrow$ \circled{3}. 由引理~\ref{104}~知$n>1$时每个置换都是一些对换的乘积。
      再由命题~\ref{1B1}~知置换矩阵是一些对换矩阵的乘积。
      \iffalse 若$P=I$, 可任取对换矩阵$Q$, 有$P=I=Q^2$. 现在设$P=(p_{ij})\neq I$. 若$p_{11}\neq 1$, 某行第一列有个$1$, 交换这行与第一行；若$p_{22}\neq 1$, 某行第二列有个$1$, 交换这行与第二行；以此类推，有限次后我们可以得到单位矩阵。换句话说，存在对换矩阵$Q_1, Q_2, \cdots, Q_k$使得$Q_k\cdots Q_2Q_1 P=I$. 这样$P=Q_1^{-1}Q_2^{-1}\cdots Q_k^{-1}$是一些对换矩阵的乘积。\fi
    %$n=1$时行列式为$1$. 若$n>1$, 由于对换矩阵的行列式是$-1$, 置换矩阵，作为一些对换矩阵的乘积，其行列式为$\pm 1$.
\end{proof}

%\begin{remark}
%    由命题~\ref{permutation-matrix}(2)知，$n>1$时用置换矩阵左乘（转：右乘）一个矩阵的效果是置换该矩阵的行（转：列），特别地，置换了矩阵中的元素。
%\end{remark}
\end{frame}


\begin{frame}{置换的符号}  下面我们来谈置换的符号，或者说其奇偶性。

\begin{definition}
    置换$\sigma\in S_n$的\emph{符号} (sign) 定义为其对应的置换矩阵$P$的行列式，记为$\sgn(\sigma)$, 即$\sgn(\sigma) \coloneq \det P =\pm 1$. 称$\sigma$为\emph{偶置换} (even permutation)（转：\emph{奇置换} (odd permutation)），若$\sgn(\sigma)=1$（转：$-1$）。
\end{definition}

\pause
\begin{example}\label{105}
  \begin{enumerate}
      \item $S_3$中所有的偶置换为$1, (123), (132)$, 所有的奇置换为$(12), (13), (23)$.
    \item 对换$(i_ki_l)\in S_n$是奇置换。
  \end{enumerate}
\end{example}

\pause
\begin{proposition}\label{10A}
\begin{enumerate} 
  \item 对置换$\sigma, \mu\in S_n$有$\sgn (\mu\sigma)=\sgn (\mu) \sgn (\sigma)$. 特别地，$\sgn (\sigma^{-1})=\sgn(\sigma)$; 若$\mu$是对换，则$\sgn(\mu\sigma)=-\sgn(\sigma)$.

  \item 设$\sigma\in S_n$分解为$t$个轮换的乘积，且长度分别为$l_1,\cdots,l_t$. 那么$\sgn(\sigma)=(-1)^{\sum_{i=1}^{\rT}(l_i-1)}$.
    \iffalse\item 设$\sigma\in S_n$完全分解为$t$个不相交的置换的乘积，那么$\sgn(\sigma) = (-1)^{n-t}$.\fi
\end{enumerate}
\end{proposition}

\end{frame}


\begin{frame}
  命题~\ref{10A}(2)可以用于方便地计算具体的置换的符号。比如$(1532)(47)\in S_9$的符号为$(-1)^{3+1}=1$. 

  \pause
\begin{proof}
  \begin{enumerate}
\item 设$\sigma, \mu$对应的置换矩阵分别为$P, Q$. 由命题~\ref{1B1}, 我们知道
    \[
      \sgn (\mu\sigma)=\det Q P=\det Q\det P = \sgn (\mu)\sgn (\sigma).
    \]
    由于\[ \sgn(\sigma)\sgn(\sigma^{-1})=\sgn(\sigma\sigma^{-1})=\sgn 1=1, \] 我们有$\sgn (\sigma^{-1})=\sgn (\sigma)$. 若$\mu$是对换，则$\sgn (\mu)=-1$, 故$\sgn (\mu\sigma) =-\sgn (\sigma)$. 

  \item 设$\sigma=\sigma_t\cdots \sigma_2 \sigma_1$, 其中$\sigma_i$为$l_i$-轮换。
    由引理~\ref{104}~知$k$-轮换 ($k>1$) 是$k-1$个对换的乘积。
    所以
    \[
    \begin{aligned}
    \sgn(\sigma)&= \sgn(\sigma_t)\cdots\sgn(\sigma_2)\sgn(\sigma_1)\\
    &= (-1)^{l_t-1}\cdots (-1)^{l_2-1}\cdot (-1)^{l_1-1}\\
      &= (-1)^{\sum_{i=1}^{t}(l_i-1)}.
    \end{aligned}
  \]
    注意上式即使在某个$\sigma_i$是$1$-轮换时也是对的。
    \iffalse
  \item 设$n>1$. 由引理~\ref{104}~知$k$-轮换 ($k>1$) 是$k-1$个对换的乘积。设$\sigma$的完全分解中$1$-轮换有$l$个，其余的$t-l$个轮换依次设为$k_i$-轮换 ($1\leqslant i\leqslant t-l$). 显然有$\sum_{i=1}^{t-l} k_i = n-l$. $\sigma$是
    \[\sum_{i=1}^{t-l}(k_i-1)=n-l-(t-l)=n-t\]个对换的乘积，所以$\sgn \sigma = (-1)^{n-t}$.
    \fi
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}{排列}

  $1,2,\cdots,n$的排列$i_1i_2\cdots i_n$显然一一对应于$\Omega=\{1,2,\cdots,n\}$上的置换：
\begin{equation}
    i_1i_2\cdots i_n\leftrightarrow \sigma=\left( 
        \begin{array}{cccc}
            1 & 2 & \cdots & n\\
            i_1 & i_2 & \cdots & i_n
        \end{array}
    \right).
\end{equation}
\pause
这样我们可以定义排列$i_1i_2 \cdots i_n$的\emph{符号} $\sgn[i_1i_2\cdots i_n]$
为其对应的置换$\sigma$的符号，即
\[
  \sgn[i_1i_2\cdots i_n]\coloneq \sgn (\sigma).
\]

\pause
交换排列$i_1i_2\cdots i_n$中两个数字的位置的操作称为（排列上的）\emph{对换} (transposition)。
注意到
\[
    \begin{aligned}
        (i_ki_l)
        \left( 
            \begin{array}{ccccccc}
                1 & \cdots & k & \cdots & l & \cdots & n\\
                i_1 & \cdots & i_k & \cdots & i_l & \cdots& i_n
            \end{array}
        \right)
        %&= 
        %\left( 
        %    \begin{array}{ccccccc}
        %        1 & \cdots & k & \cdots & l & \cdots & n\\
        %        i_1 & \cdots & i_k & \cdots & i_l & \cdots& i_n\\
        %        i_1 & \cdots & i_l & \cdots & i_k & \cdots & i_n
        %    \end{array}
        %\right)\\
        %&
        = 
        \left( 
            \begin{array}{ccccccc}
                1 & \cdots & k & \cdots & l & \cdots & n\\
                i_1 & \cdots & i_l & \cdots & i_k & \cdots& i_n
            \end{array}
        \right),
    \end{aligned}
\]
所以排列上的对换的效果在置换上看就是用对换（$2$-轮换）左乘。
\pause
由命题~\ref{10A}~我们有

\begin{corollary}\label{0F3}
    对换改变排列的符号。
\end{corollary}


\end{frame}

\begin{frame}

现在容易发现上面定义的排列的符号与之前定义的排列的符号的一致性。

\begin{lemma}\label{109}
  \vspace*{-1em}
  \begin{equation}
  \sgn [i_1i_2\cdots i_n]=(-1)^{\tau(i_1i_2\ldots i_n)}.
\end{equation}
\end{lemma}
\pause
\begin{proof}
    我们对$\tau(i_1i_2\cdots i_n)$归纳证明。若$\tau(i_1i_2\cdots i_n)=0$, 
    则$i_1<i_2<\cdots <i_n$, 从而$i_1i_2\cdots i_n=12\cdots n$ 是自然排列。
    显然有$\sgn [12\cdots n] =1=(-1)^{\tau(12\ldots n)}$. 现在设$\tau(i_1i_2\cdots i_n)>0$.
    存在指标$k$使得$i_k>i_{k+1}$. 
    交换$i_k, i_{k+1}$, 易知逆序数减少$1$（相对顺序变化的两个数字只有$i_k, i_{k+1}$）。
    这样由归纳假设和引理~\ref{0F3} 知
    \[
        \begin{aligned}
          \sgn [i_1i_2\cdots i_n] &= -\sgn i_1\cdots i_{k+1}i_{k}\cdots i_n \\
            &= -(-1)^{\tau(i_1\ldots i_{k+1}i_k\ldots i_n)}\\
            &= (-1)^{\tau(i_1i_2\ldots i_n)}.
        \end{aligned}
    \]
\end{proof}

\pause
引理~\ref{109} 表明逆序数的奇偶性 (parity) 反映在排列的符号上。对换改变排列的符号，故我们可推出

\begin{corollary}
  对换改变逆序数的奇偶性。
\end{corollary}


\end{frame}



\begin{frame}
  既然$\sgn(\sigma)$也定义了$\sigma$对应的排列的奇偶性，我们有如下这些行列式的完全展开式的表达式：
  对$A=(a_{ij})\in P^{n\times n}$有
  \[
  \begin{aligned}
    \det A &=  \sum_{i_1i_2\ldots i_n} (-1)^{\tau(i_1i_2\ldots i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n}\\
    \pause
    &= \sum_{i_1i_2\ldots i_n} (-1)^{\tau(i_1i_2\ldots i_n)}a_{i_1 1}a_{i_2 2}\cdots a_{i_n n}\\
    \pause
    &=  \sum_{\sigma\in S_n}\sgn (\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} \\
    \pause
    &= \sum_{\sigma\in S_n}\sgn (\sigma) a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}.
\end{aligned}
\]
\end{frame}


\begin{frame}
%\begin{warning}
%  注意我们在写排列$i_1i_2\cdots i_n$的符号$\sgn i_1i_2\ldots i_n$时坚持不在排列$i_1i_2\cdots i_n$两边加括号。因为我们还有置换$(i_1i_2\cdots i_n)$, 这个置换对应的排列不是$i_1i_2\cdots i_n$, 所以$\sgn i_1i_2\cdots i_n$与$\sgn(i_1i_2\cdots i_n)$是两码事。
%\end{warning}

\begin{remark}
  我们有
  \begin{equation} \sgn\left( 
        \begin{array}{ccccc}
          i_1 & i_2 & \cdots & i_n\\
          j_1 & j_2 & \cdots & j_n
        \end{array}
      \right)=\sgn [i_1i_2\cdots i_n]\sgn [j_1j_2\cdots j_n],
  \end{equation}
  因此又得到了：
  完全展开式中$a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}$这项的符号为$(-1)^{\tau(i_1\ldots i_n)+\tau(j_1\ldots j_n)}$.
  \pause
  实际上，
      \[\begin{aligned}
   \sgn \left( 
      \begin{array}{ccc}
        i_1 & \cdots & i_n\\
        j_1 & \cdots & j_n
      \end{array}
    \right)
    &= 
    \sgn \left(
      \left( 
      \begin{array}{ccc}
        1 & \cdots & n\\
        j_1 & \cdots & j_n
      \end{array}
    \right)
    \left( 
      \begin{array}{ccc}
        i_1 & \cdots & i_n\\
        1 & \cdots & n
      \end{array}
    \right)
  \right)
  \\
  &= 
    \sgn\left( 
      \begin{array}{ccc}
        1 & \cdots & n\\
        j_1 & \cdots & j_n
      \end{array}
    \right)
  \sgn\left( 
      \begin{array}{ccc}
        i_1 & \cdots & i_n\\
        1 & \cdots & n
      \end{array}
    \right)
    \\
    &= 
    \sgn\left( 
      \begin{array}{ccc}
        1 & \cdots & n\\
        j_1 & \cdots & j_n
      \end{array}
    \right)
    \sgn\left( 
      \begin{array}{ccc}
        1 & \cdots & n\\
        i_1 & \cdots & i_n
      \end{array}
    \right)
    \\
    &= \sgn [j_1\cdots j_n] \sgn [i_1\cdots i_n].
  \end{aligned}
      \]
\end{remark}



\end{frame}



